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1、试题题目:已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前 n项和,且满足
a2n
=S2n-1
,n∈N*.数列{bn}满足bn=
1
an?an+1
,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn
(3)若对任意的n∈N*,不等式λTn<n+8-(-1)n恒成立,求实数λ的取值范围.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:等差数列的通项公式



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1
在an2=S2n-1中,令n=1,n=2,
a12=S1
a22=S3
,即
a12=a1
(a1+d)2=3a1+3d
,(4分)
解得a1=1,d=2,
∴an=2n-1.
(2)bn=
1
an?an+1
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),
∴Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
n
2n+1

(3)①当n为偶数时,要使不等式λTn<n+8-(-1)n恒成立,
即需不等式λ<
(n+8)(2n+1)
n
=2n+
8
n
+17恒成立.
∵2n+
8
n
≥8,当且仅当n=2时取“=”,
∴λ<25(8分)
②当n为奇数时,要使不等式λTn<n+8-(-1)n恒成立,即需不等式
λ<
(n-8)(2n+1)
n
=2n-
8
n
-15恒成立.
∵2n-
8
n
随n增大而增大,
∴n=1时,2n-
8
n
取得最小值-6.
∴λ<-21.(10分)
综合①、②可得λ的取值范围是λ<-21.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中等差数列的通项公式”。


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