已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且a4=81（1）求数列的前三项a1、a2、a3的值；（2）是否存在一个实数λ，使得数列{an+λ2n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且a4=81（1）求数列的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n^}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₄=81
（1）求数列的前三项a₁、a₂、a₃的值；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；求数列a_n通项公式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）?a₄=2a₃+2⁴-1=81?a₃=33
同理可得a₂=13，a₁=5（3分）
（2）假设存在一个实数λ符合题意，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

（5分）
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是与n无关的常数，则

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列（8分）
由（2）知数列{

an+λ

2n

}的公差d=1，∴

an-1

2n

=

a1-1

21

+(n-1)?1=n+1
得a_n=（n+1）?2ⁿ+1（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且a4=81（1）求数列的..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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