已知数列{an}中，an=2-1an-1（n≥2，n∈N+），（1）若a1=35，数列{bn}满足bn=1an-1（n∈N+），求证数列{bn}是等差数列；（2）若a1=35，求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由；（3）若-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，an=2-1an-1（n≥2，n∈N+），（1）若a1=35，数列{bn}满..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，an=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N₊），
（1）若a1=

3

5

，数列{b_n}满足bn=

1

an-1

（n∈N₊），求证数列{b_n}是等差数列；
（2）若a1=

3

5

，求数列{a_n}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）若1＜a₁＜2，试证明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）bn=

1

an-1

=

1

2-

1

an-1

-1

=

an-1

an-1-1

，而bn-1=

1

an-1-1

，
∴bn-bn-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1．（n∈N⁺）
∴{b_n}是首项为b1=

1

a1-1

=-

5

2

，公差为1的等差数列．
（2）依题意有an-1=

1

bn

，而bn=-

5

2

+(n-1)?1=n-3.5，
∴an-1=

1

n-3.5

．对于函数y=

1

x-3.5

，
在x＞3.5时，y＞0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，
在（3.5，+∞）上为减函数．且y＞0，故当n=4时，an=1+

1

n-3.5

取最大值3．
而函数y=

1

x-3.5

在x＜3.5时，y＜0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，
在（-∞，3.5）上也为减函数．且y＜0，故当n=3时，取最小值，a₃=-1．
∴数列{a_n}中的最大项是a₄=3；最小项是a₃=-1
（3）先用数学归纳法证明1＜a_n＜2，再证明a_n+1＜a_n．①当n=1时，1＜a₁＜2成立；
②假设当n=k时命题成立，即1＜a_k＜2，
当n=k+1时，

1

2

＜

1

ak

＜1?ak+1=2-

1

ak

∈(1，

3

2

)?1＜a_k+1＜2故当n=k+1时也成立，
综合①②有，命题对任意n∈N₊时成立，即1＜a_n＜2．
（也可设f(x)=2-

1

x

（1≤x≤2），则f′(x)=

1

x2

＞0，
故1=f（1）＜ak+1=f(ak)＜f(2)=

3

2

＜2）．
进而证明a_n+1＜a_n∵an+1-an=2-(an+

1

an

)＜2-2

an?

1

an

=0
∴a_n+1＜a_n

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，an=2-1an-1（n≥2，n∈N+），（1）若a1=35，数列{bn}满..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：