已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），（1）求a2，a3，a4（2）是否存在一个实数λ，使得数列{an+λ2n}成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{an}的-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），（1）求a2，a3，a4（2）是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2，a₁=2），
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和，证明：S_n≥n³+n²．

试题来源：淄博一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2，a₁=2），
∴a₂=4+4+2=10，a₃=20+8+2=30a₄=60+16+2=78；
（2）假设存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}成等差数列，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=1+

2-λ

2n

恒为常数
∴2-λ=0，即λ=2
此时

a1+2

2

=2，

a2+2

2

-

a1+2

2

=1
当λ=2时，数列{

an+λ

2n

}是首项为2、公差为1的等差数列
（3）证明：由（2）得

an+λ

2n

=

a1+2

2

+(n-1)=n+1
∴an=(n+1)?2n-2
∴S_n=2?2+3?2²+…+（n+1）?2ⁿ-2n
∴2S_n=2?2²+3?2³+…+（n+1）?2ⁿ⁺¹-4n
两式相减得：
-S_n=2?2+2²+2³+…2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹+2n=-n?2ⁿ⁺¹+2n
∴Sn=n?2n+1-2n
当n=1或2时，有S_n=n³+n²；
当n≥3时，Sn=n?2n+1-2n=2n[（1+1）ⁿ-1]≥2n[1+n+

n(n-1)

2

]=n³+n²．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{a}满足an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），（1）求a2，a3，a4（2）是..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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