在正项等比数列{an}中，a5=12，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为_____

1、试题题目：在正项等比数列{an}中，a5=12，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-02 07:30:00

试题原文

在正项等比数列{a_n}中，a5=

1

2

，a₆+a₇=3，则满足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为______．

试题来源：江苏试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的前n项和

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设正项等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，
由题意可得

a1q4=

1

2

a1q5(1+q)=3

，解之可得得：a₁=

1

32

，q=2，
故其通项公式为a_n=

1

32

×2n-1=2^n-6．
记T_n=a₁+a₂+…+a_n=

1

32

(1-2n)

1-2

=

2n-1

25

，
S_n=a₁a₂…a_n=2^-5×2^-4…×2^n-6=2^-5-4+…+n-6=2

(n-11)n

2

．
由题意可得T_n＞S_n，即

2n-1

25

＞2

(n-11)n

2

，
化简得：2ⁿ-1＞2

1

2

n2-

11

2

n+5，即2ⁿ-2

1

2

n2-

11

2

n+5＞1，
因此只须n＞

1

2

n2-

11

2

n+5，即n²-13n+10＜0
解得

13-

129

2

＜n＜

13+

129

2

，
由于n为正整数，因此n最大为

13+

129

2

的整数部分，也就是12．
故答案为：12

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在正项等比数列{an}中，a5=12，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的前n项和”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的前n项和”。

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