圆C：x2+y2-4x-5=0，直线l：kx-y+1=0．（1）求证：不论实数k取什么值，直线l与圆C恒有两个不同交点；（2）当k=2时，直线l与圆C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离；（3）求直线l被圆C-数学试题及答案

1、试题题目：圆C：x2+y2-4x-5=0，直线l：kx-y+1=0．（1）求证：不论实数k取什么值，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

圆C：x²+y²-4x-5=0，直线l：kx-y+1=0．
（1）求证：不论实数k取什么值，直线l与圆C恒有两个不同交点；
（2）当k=2时，直线l与圆C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离；
（3）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，以及此时直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）联立方程，消去y得（1+k²）x²+（2k-4）x-4=0，
△=（2k-4）²+16（1+k²）＞0恒成立所以直线l与圆C恒有两个不同交点；
（2）把圆C的方程化为标准方程得：（x-2）²+y²=9，
∴圆心C坐标为（2，0），半径r=3，又k=2，所以直线l：2x-y+1=0，
圆心C到直线l的距离d=

|5|

5

=

5

，
根据勾股定理得：AB=2

32- (

5

)2

=4；
（3）直线恒过圆内定点H（0，1），
当l⊥CH时，圆心到直线距离d最大，
在直角三角形OCH中，根据勾股定理得：d=

12+22

=

5

，
线段的最小长度AB=2

32-(

5

)2

=4，
∵k_CH=

1-0

0-2

=-

1

2

，∴k_l=2，
则直线l方程为2x-y+1=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“圆C：x2+y2-4x-5=0，直线l：kx-y+1=0．（1）求证：不论实数k取什么值，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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