已知数列{an}中，a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）．（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=1an+1+1an+2+1an+3+…+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）．（1）写出a2、a3的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）写出a₂、a₃的值（只写结果）并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，求实数t的取值范围．

试题来源：惠州三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）∴a₂=6，a₃=12（2分）
当n≥2时，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]=2

n(n+1)

2

=n(n+1)（5分）
当n=1时，a₁=1×（1+1）=2也满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）（6分）
（2）bn=

1

an+1

+

1

an+2

++

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

++

1

2n(2n+1)

=

1

(n+1)

-

1

(n+2)

+

1

(n+2)

-

1

(n+3)

++

1

2n

-

1

(2n+1)

=

1

(n+1)

-

1

(2n+1)

=

n

2n2+3n+1

=

1

(2n+

1

n

)+3

（8分）
令f(x)=2x+

1

x

(x≥1)，则f′(x)=2-

1

x2

，当x≥1时，f'（x）＞0恒成立
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）_min=f（1）=3
即当n=1时，(bn)max=

1

6

（11分）
要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，
则须使t2-2mt+

1

6

＞(bn)max=

1

6

，
即t²-2mt＞0，
对?m∈[-1，1]恒成立，
∴

t2-2t＞0

t2+2t＞0

，解得，t＞2或t＜-2，
∴实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）．（1）写出a2、a3的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

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