设数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当n∈N*时，an≤an+1．（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的数列，使得不等式a21a2+a22a3+a23a4+…+a2nan+1＜32对于任意的n∈N*都成立，并对你给出的结果进-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当n∈N*时，an≤an+1．（Ⅰ）请给出一..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}具有以下性质：①a₁=1；②当n∈N^*时，a_n≤a_n+1．
（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的数列，使得不等式

a

21

a2

+

a

22

a3

+

a

23

a4

+…+

a

2n

an+1

＜

3

2

对于任意的n∈N^*都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；
（Ⅱ）若bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

，其中n∈N^*，且记数列{b_n}的前n项和B_n，证明：0≤B_n＜2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）令

a

21

a2

=1，

a

22

a3

=

1

3

，

a

23

a4

=

1

32

，…，

a

2n

an+1

=

1

3n-1

，
则无穷数列{a_n}可由a₁=1，a_n+1=3^n-1a_n²（n≥1）给出．
显然，该数列满足a₁=1，a_n≤a_n+1（n∈N^*），
且

a

21

a2

+

a

22

a3

+…+

a

2n

an+1

=1+

1

3

+…+

1

3n-1

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

------------------（6分）
（Ⅱ）证明∵bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

，an≤an+1，∴b_n≥0．
∴B_n=b₁+b₂+…+b_n≥0．-------------------------（8分）
又bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

=

an

an+1

(

1

an

-

1

an+1

)
=

an

an+1

(

1

an

-

1

an+1

)(

1

an

+

1

an+1

)
=(

1

an

-

1

an+1

)(

an

an+1

+

an

an+1

)≤2(

1

an

-

1

an+1

)．
∴Bn≤2(

1

a1

-

1

an+1

)＜

2

a1

=2．
∴0≤B_n＜2．--------------------------------（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当n∈N*时，an≤an+1．（Ⅰ）请给出一..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：