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1、试题题目：（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．
对于数列{an}
（1）当{an}满足an+1-an=d（常数）且
an+1
an
=q（常数），证明：{an}为非零常数列．
（2）当{an}满足an+12-an2=d'（常数）且
a2n+1
a2n
=q′（常数），判断{an}是否为非零常数列，并说明理由．
（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广，写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）．

  试题来源：闵行区二模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：数列的概念及简单表示法



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）（法一）
an+1-an=d
an+1
an
=q
?qan-an=d?（q-1）an=d
当q=1时，∵an≠0，所以d=0；
当q≠1时，?an=
d
q-1
是一常数，矛盾，所以{an}为非零常数列； （5分）
（法二）设an=a1+（n-1）d，则有：
an+1
an
=
a1+(n+1-1)d
a1+(n-1)d
=q，
即a1+nd=（a1q-qd）+qdn（2分）
所以
d=qd
a1=qa1-qd
，解得
d=0
q=1
．由此可知数列{an}为非零常数列； （5分）
（2）记an2=bn，由（1）证明的结论知：{an2}为非零常数列．（2分）
显然，{an2}为非零常数列时，{an}不一定为非零常数列，如：非常数数列an=（-p）n（p为大于0的正常数）和常数列an=p（p为非零常数）均满足题意要求．（5分）
（3）若{an}满足an+1m-anm=d'（常数）且
amn+1
amn
=q′（常数），则当m为奇数时，{an}必为非零常数列；当m为偶数时，{an}不一定为非零常数列．
或者：设anm=a1m+（n-1）d，即anm=A+Bn，则
amn+1
amn
=(
A+(n+1)B
A+nB
)m=q′，即(1+
B
A+Bn
)m对一切n∈N*均为常数，则必有B=0，即有anm=A，当m为奇数时，an=
mA
，当m为偶数时，an=
mA
(A＞0)或者an=
m(-A)
 i (A＜0).3°{an}满足an+1m-anm=d'（常数）且
aln+1
aln
=q′（常数），且m、l为整数，
当m、l均为奇数时，{an}必为非零常数列；否则{an}不一定为常数列．
事实上，条件
aln+1
aln
=q′（正常数）可以转化为
amn+1
amn
=(q′)
m
l
（常数），整个问题转化为2°，结论显然成立．（结论5分）
或者：设anm=a1m+（n-1）d，即anm=A+Bn，当m为奇数时，有an=
mA+Bn
，则
aln+1
aln
=(
A+(n+1)B
A+nB
)
l
m
=q′，即(1+
B
A+Bn
)
l
m
对一切n∈N*均为常数，则必有B=0，即有anm=A，则an=
mA
，当m为偶数时，如反例：an=（-1）nn∈N*，它既满足m次方后是等差数列，又是l（不管l为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.4°{an}满足an+1m-anm=d'（常数）且
aln+1
aln
=q′（常数），m、l为有理数，q′＞0，则{an}必为非零常数列；否则{an}不一定为常数列．
证明过程同3°（结论6分）5°{an}满足an+1m-anm=d'（常数）且
aln+1
aln
=q′（常数），且m、l为实数，q′＞0，{an}是不等于1的正数数列，则{an}必为非零且不等于1的常数列；否则{an}不一定为常数列．
事实上，当q′＞0，m、l为实数时，条件
aln+1
aln
=q′同样可以转化为
amn+1
amn
=(q′)
m
l
，记anm=bn，由第（1）题的结论知：{bn}必为不等于1的正常数数列，也即{anm}为不等于1的正常数数列，an=
mbn
，从而{an}也是不等于1的正常数数列．
（结论7分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。


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