已知函数f（x）=（x2+ax+a）e-x，（a为常数，e为自然对数的底）．（Ⅰ）当a=0时，求f′（2）；（Ⅱ）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x2+ax+a）e-x，（a为常数，e为自然对数的底）．（Ⅰ）当a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-26 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a为常数，e为自然对数的底）．
（Ⅰ）当a=0时，求f′（2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x-2y+m=0（ m为确定的常数）相切，并说明理由．

试题来源：东城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x²e^-x，f'（x）=2xe^-x-x²e^-x=xe^-x（2-x）．
所以f'（2）=0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]=-e^-x?x[x-（2-a）]．
令f'（x）=0，得x=0或x=2-a．
若2-a=0，即a=2时，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，
此时f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递减，没有极小值；
当2-a＞0，即a＜2时，
若x＜0，则f'（x）＜0．
若0＜x＜2-a，则f'（x）＞0．
所以x=0是函数f（x）的极小值点．
当2-a＜0，即a＞2时，
若x＞0，则f'（x）＜0．
若2-a＜x＜0，则f'（x）＞0．
此时x=0是函数f（x）的极大值点．
综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a＜2．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a＜2，且x＞2-a时，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的极大值点，极大值为f（2-a）=（4-a）e^a-2．
所以g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）．
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2．
令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2）．
则h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，即h（x）在区间（-∞，2）上是增函数．
所以当x＜2时，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g'（x）＜1．
又直线3x-2y+m=0的斜率为

3

2

，
所以曲线y=g（x）不能与直线3x-2y+m=0相切．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x2+ax+a）e-x，（a为常数，e为自然对数的底）．（Ⅰ）当a..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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