已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．是否存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-18 07:30:00

试题原文

已知f（θ）=sin²θ+sin²（θ+α）+sin²（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．是否存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：已知三角函数值求角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

假设存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值，则令θ=0?f（0）=sin²β+siα；
θ=

π

2

?f(

π

2

)=3-sin2β-sin2α；θ=-α?f（-α）=sin²（β-α）+sin²α；
θ=-β?f（0）=sin²β+sin²（α-β）
由题设得：f(0)=f(

π

2

)=f(-α)=f(-β)，
即sin2α=sin2β=sin2(β-α)=

3

4

．
又∵0≤α＜β≤π，∴0＜β-α≤π．
即有：sinα=sinβ=sin(β-α)=

3

2

?

α=

π

3

β=

2π

3

．…（10分）
而当

α=

π

3

β=

2π

3

时，有f(θ)=sin2θ+sin2(θ+

π

3

)+sin2(θ+

2π

3

)=

3

2

．
故存在这样的α、β，即

α=

π

3

β=

2π

3

，使f（θ）是与θ无关的定值．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．..”的主要目的是检查您对于考点“高中已知三角函数值求角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中已知三角函数值求角”。

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