中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1，F2，|F1F2|=213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7，（1）求这两曲线方程；（2）若P为两曲线-数学试题及答案

1、试题题目：中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F₁，F₂，|F1F2|=2

13

，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7，
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为两曲线的交点（P在第一象限），求

PF1

?

PF2

的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知，半焦距c=

13

，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a-4，
离心率之比为

3

7

=

13

a

13

a-4

，
∴a=7，
∴椭圆的短半轴等于

49-13

=6，双曲线虚半轴的长为

13-9

=2，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1．
（2）由椭圆的定义得：PF₁+PF₂=2a=14，
由双曲线的定义得：PF₁-PF₂=6，
∴PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2

13

，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：(2

13

)2=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=

4

5

．
则

PF1

?

PF2

=|

PF1

|?|

PF2

|cos∠F₁PF₂=10×4×

4

5

=32．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：