已知函数f（x）=x3-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）过原点的切线与函数g（x）=b-lnx的图象有两个交点，试求b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）过原点的切线与函数g（x）=b-lnx的图象有两个交点，试求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，又函数f（x）有极大值，
∴令f′（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
∴f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）上递增，在（-

a

，

a

）上递减，
∴f（x）_极大值=f（-

a

）=18，解得a=4．
（Ⅱ）设切点（x₀，x03-12x0+2），则切线斜率k=f′（x₀）=3x02-12，
所以切线方程为y-x03+12x0-2=（3x02-12）（x-x₀），
将原点坐标代入得x₀=1，所以k=-9．
切线方程为y=-9x．
由

y=-9x

y=b-lnx

得lnx-9x-b=0．
设h（x）=lnx-9x-b，
则令h′（x）=

1

x

-9=

1-9x

x

＞0，得0＜x＜

1

9

，
所以h（x）在（0，

1

9

）上递增，在（

1

9

，+∞）上递减，
所以h（x）_最大值=h（

1

9

）=-ln9-1-b．
若lnx-9x-b=0有两个解，则h（x）_最大值＞0，
得b＜-ln9-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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