发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-18 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)∵f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞), ∴f′(x)=1-
当x∈(-m,1-m)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m) 当x∈(1-m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)---(4分) 根据函数极值判别方法,f(1-m)=1-m为极小值, 而且对x∈(-m,+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m. 故当m≤1时,f(x)≥0.---------------(6分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当m>1时,f(1-m)=1-m<0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在[e-m-m,1-m]上为减函数. f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0 所以当m>1时,f(e-m-m)与f(1-m)异号. 由函数零点判定定理知,函数f(x)在区间(e-m-m,1-m)内有唯一零点.----------(9分) 而当m>1时,f(e2m-m)=e2m-3m. 令g(x)=e2x-3x(x>1),则g′(x)=2e2x-3(x>1)>2e2-3>0, 那么函数g(x)在区间(1,+∞)上递增.于是g(x)>g(1)=e2-3>0,从而f(e2m-m)=e2m-3m>0.--(11分) 所以,当整数m>1时,函数f(x)=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上为增函数且f(1-m)与f(e2m-m)异号, 所以函数f(x)在区间[1-m,e2m-m]内也有唯一零点. 综上,当m>1时,函数f(x)在区间[e-m-m,e2m-m]内有两个零点.------------(14分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=x-ln(x+m),其中m为实常数.(Ⅰ)当m为何值时,f(x)≥0;..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数零点的判定定理”。