设函数f(x)=x33-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是12，求a、b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若函数f（x）在（-1，1）上有且只有一个极值点，-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x33-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

x3

3

-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是

1

2

，求a、b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在（-1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．

试题来源：乐山模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a（3分）
∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0得 a=

3

2

（4分）
∵f(3)=

1

2

解得：b=-4（5分）
（II）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2）
令f′（x）=0，即x=2a或x=2．（7分）
当a＞1时，2a＞2，∴f′（x）＞0时，x＞2a或x＜2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2）和（2a，+∞）．（8分）
当a=1时，f′（x）=（x-2）²≥0，即f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．（9分）
当a＜1时，2a＜2，∴f′（x）＞0时，x＜2a或x＞2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2a）和（2，+∞）．（10分）
（Ⅲ）由题意可得：

a＜1

f′(-1)?f′(1)＜0

（12分）
∴（2a-1）（2a+1）＜0
∴-

1

2

＜a＜

1

2

∴a的取值范围(-

1

2

，

1

2

)（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x33-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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