已知函数f（x）=-a2x2+ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数的零点．证明：当a=1时，函数f（x）只有一个零点；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-a2x2+ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-a²x²+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数的零点．证明：当a=1时，函数f（x）只有一个零点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵f′(x)=-

(2x+1)(x-1)

x

(x＞0)f（x）在（0，1）为增函数，
在（1，+∞）上为减函数．∴f（x）的最大值为f（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点．（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=-

2a2x2-ax-1

x

=-

(2ax+1)(ax-1)

x

①当a=0时，不成立．
②当a＞0时，f'（x）＜0，得x＞

1

a

，∴

1

a

≤1，a≥1．
③当a＜0时，f'（x）＜0，得x＞-

1

2a

，∴-

1

2a

≤1，a≤-

1

2

综上得：a∈(-∞，-

1

2

]∪[1，+∞)（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-a2x2+ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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