已知函数f（x）=1+x+1-x．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=ax?[f2（x）-2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若-m2+2tm+2≤g（a）对a＜0所有的实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=1+x+1-x．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1+x

+

1-x

．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）=

a

x

?[f²（x）-2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；
（3）对（2）中g（a），若-m²+2tm+

2

≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：长宁区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，
所以函数的定义域为[-1，1]，
又[f（x）]²=2+2

1-x2

∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[

2

，2]，
所以函数值域为[

2

，2]；
（2）因为F（x）=

a

2

?[f2(x)-2]+f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

，
令t=f（x）=

1+x

+

1-x

，则

1-x2

=

1

2

t2-1，
∴F（x）=m（t）=a（

1

2

t2-1）+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]，
由题意知g（a）即为函数m（t）=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直线t=-

1

a

是抛物线m（t）=

1

2

at2+t-a的对称轴．
因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
①若t=-

1

a

∈（0，

2

]，即a≤-

2

，则g（a）=m（

2

）=

2

；
②若t=-

1

a

∈（

2

，2]，即-

2

＜a≤-

1

2

，则g（a）=m（-

1

a

）=-a-

1

2a

；
③若t=-

1

a

∈（2，+∞），即-

1

2

＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，
综上有g（a）=

a+2，-

1

2

＜a＜0

-a-

1

2a

，-

2

＜a≤-

1

2

，a≤-

2

，
（3）易得gmin(a)=

2

，
由-m2+2tm+

2

≤g（a）对a＜0恒成立，即要使-m2+2tm+

2

≤g_min（a）=

2

恒成立，
?m²-2tm≥0，令h（t）=-2mt+m²，对所有的t∈[-1，1]，h（t）≥0成立，
只需

h(-1)=2m+m2≥0

h(1)=-2m+m2≥0

，
解得m的取值范围是m≤-2或m=0，或m≥2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=1+x+1-x．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：