已知函数f（x）=1+a?(12)x+(14)x；g（x）=1-m?2x1+m?2x．（I）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；（II）若对任意x∈[0，+∞），总有|f（x）|≤3成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若m＞0（m为-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=1+a?(12)x+(14)x；g（x）=1-m?2x1+m?2x．（I）当a=1时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=1+a?(

1

2

)x+(

1

4

)x；g（x）=

1-m?2x

1+m?2x

．
（I）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（II）若对任意x∈[0，+∞），总有|f（x）|≤3成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=1时，f（x）=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x；
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）
（II）由题意知，对任意x∈[0，+∞），总有-3≤f（x）≤3成立．
∴-4-(

1

4

)x≤a?(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x
∴-4?2x-(

1

2

)x≤a≤2?2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4?2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2?2x-(

1

2

)x]min
设2^x=t，则t≥1，设h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，
∴h′(t)=-4+

1

t2

＜0，p′（t）=2+

1

t2

＞0
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增
∴在[1，+∞）上，h（t）_max=h（1）=-5，p（t）_min=p（1）=1
∴实数a的取值范围为[-5，1]；
（Ⅲ）g（x）=

1-m?2x

1+m?2x

=-1+

2

1+m?2x

．
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

①当|

1-2m

1+2m

|≤|

1-m

1+m

|，即m∈（0，

2

]时，|g(x)|≤|

1-m

1+m

|，此时，M≥|

1-m

1+m

|
②当|

1-2m

1+2m

|＞|

1-m

1+m

|，即m∈（

2

，+∞）时，|g(x)|≤|

1-2m

1+2m

|，此时，M≥|

1-2m

1+2m

|
综上所述，m∈（0，

2

]时，M的取值范围为[|

1-m

1+m

|，+∞)；m∈（

2

，+∞）时，M的取值范围为[|

1-2m

1+2m

|，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=1+a?(12)x+(14)x；g（x）=1-m?2x1+m?2x．（I）当a=1时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：