已知函数f（x）=|x|x+2（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明；（2）求函数f（x）的值域；（3）如果关于x的方程f（x）=kx3有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=|x|x+2（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

|x|

x+2

（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）如果关于x的方程f（x）=kx³有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

(x2+2)(x1+2)

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）当x≥0时，f（x）=

x

x+2

＞0，
又，
∴

x

x+2

＜1，即0≤f（x）＜1；
当x＜0（x≠-2）时，f（x）=

-x

x+2

=y，
∴x=

-2y

y+1

，由x＜0，得
y＜-1或y＞0．
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪[0，+∞）．
（3）当x=0时，f（x）=kx³，
∴x=0为方程的解．
当x＞0时，

x

x+2

=kx3，∴kx²（x+2）=1，∴x2(x+2)=

1

k

，
当x＜0时，

-x

x+2

=kx3，∴kx²（x+2）=-1，∴-x2(x+2)=

1

k

，
即看函数g（x）=

x2(x+2)，(x＞0)

-x2(x+2)，(x＜0，x≠

-2)
与函数h（x）=

1

k

图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g（x）的大致图象，
∴

1

k

＞-

32

27

，
∴k＜-

27

32

或k＞0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=|x|x+2（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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