已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列，设bn+2=3log14an(n∈N×)，数列{cn}满足cn=an?bn．（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn；（3）若Cn≤14m2+m-1对一-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列，设bn+2=3log14..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}是首项为a1=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，设bn+2=3log

1

4

an(n∈N×)，数列{c_n}满足c_n=a_n?b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若Cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知，a_n=（

1

4

）ⁿ．
∵bn+2=3log

1

4

an，b1+2=3log

1

4

a1
∴b₁=1
∴b_n+1-b_n=3log

1

4

a_n+1=3log

1

4

a_n=3log

1

4

an+1

a n

=3log

1

4

q=3
∴数列{b_n}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，a_n=（

1

4

）ⁿ．b_n=3n-2
∴C_n=（3n-2）×（

1

4

）ⁿ．
∴S_n=1×

1

4

+4×（

1

4

）²+…+（3n-2）×（

1

4

）ⁿ，
于是

1

4

S_n=1×（

1

4

）²+4×（

1

4

）³+…（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
两式相减得

3

4

S_n=

1

4

+3×[（

1

4

）²+（

1

4

）³+…+（

1

4

）ⁿ）-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
=

1

2

-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=

2

3

-

12n+8

3

×（

1

4

）ⁿ⁺¹
（3）∵C_n+1-C_n=（3n+1）×（

1

4

）ⁿ⁺¹-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ=9（1-n）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
∴当n=1时，C₂=C₁=

1

4

当n≥2时，C_n+1＜C_n，即C₂=C₁＞C₃＞C₄＜…＞C_n
∴当n=1时，C_n取最大值是

1

4

又Cn≤

1

4

m2+m-1
∴

1

4

m2+m-1≥

1

4

即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列，设bn+2=3log14..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：