已知定义在（-1，1）上的函数f（x），满足f(12)=1，并且?x，y∈（-1，1）都有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)成立，对于数列{xn}，有x1=12，xn+1=2xn1+x2n．（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数；（Ⅱ-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在（-1，1）上的函数f（x），满足f(12)=1，并且?x，y∈（-1，1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知定义在（-1，1）上的函数f（x），满足f(

1

2

)=1，并且?x，y∈（-1，1）都有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)成立，对于数列{x_n}，有x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+

x

2n

．
（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数；
（Ⅱ）求数列{f（x_n）}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{f（x_n）}，证明：

n

2

-

5

6

＜

f(x1)-1

f(x2)-1

+

f(x2)-1

f(x3)-1

+…+

f(xn)-1

f(xn+1)-1

＜

n

2

（n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0
∴f（x）在（-1，1）上为为奇函数．
（2）由x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+

x

2n

易知0＜x_n＜1
∵f（x_n）-f（-x_n）=f(

2xn

1+xn2

)且f（x）且f（x）在（-1，1）上为奇函数
∴f（x_n+1）=2f（x_n），f（x₁）=1
∴f（x_n）是以1为首项，2为公比的等比数列
∴f（x_n）=2^n-1
（3）

f(x1)-1

f(x2)-1

+

f(x2)-1

f(x3)-1

+…+

f(xn)-1

f( xn+1)-1

=

0

2-1

+

2-1

22-1

+…+

2n-1-1

2n+1-1

＜

1

2

+

1

2

+…+

1

2

=

n

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在（-1，1）上的函数f（x），满足f(12)=1，并且?x，y∈（-1，1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：