已知常数a＞0，函数f(x)=x3+3a4x，|x|≥a2494a2x，|x|＜a2（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若0＜a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）；（3）是否存在常数t，使对于任意x∈(a2，2t-a-数学试题及答案

1、试题题目：已知常数a＞0，函数f(x)=x3+3a4x，|x|≥a2494a2x，|x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知常数a＞0，函数f(x)=

x3+

3a4

x

，|x|≥

a

2

49

4

a2x，|x|＜

a

2

（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若0＜a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）；
（3）是否存在常数t，使对于任意x∈(

a

2

，2t-

a

2

)(t＞

a

2

)时，f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当|x|＜

a

2

时，f(x)=

49

4

a2x为增函数． …（1分）
当|x|≥

a

2

时，f'（x）=3x²-

3a4

x2

．
令f'（x）＞0，得x＞a或x＜-a．…（3分）
∴f（x）的增区间为（-∞，-a），(-

a

2

，

a

2

)和（a，+∞）．…（4分）
（2）函数的图象如图，由图可知，

魔方格

①当1＜a＜2时，

a

2

＜1＜a，f（x）在区间[1，a]上递减，在[a，2]上递增，最小值为f（a）=4a³；…（6分）
②当0＜a≤1时，f（x）在区间[1，2]为增函数，最小值为f（1）=1+3a⁴；…（8分）
③当a=2时，f（x）在区间[1，2]为减函数，最小值为f（a）=4a³； …（9分）
综上，f（x）最小值g(a)=

1+3a4，0＜a≤1

4a3，1＜a≤2

． …（10分）
（3）由f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t），
可得[f（t）-f（x）][f（t）-f（2t-x）]≥0，…（12分）
即

f(t)≤f(x)

f(t)≤f(2t-x)

或

f(t)≥f(x)

f(t)≥f(2t-x)

成立，所以t为极小值点，或t为极大值点．
又x∈(

a

2

，2t-

a

2

)时，f（x）没有极大值，所以t为极小值点，即t=a…（16分）
（若只给出t=a，不说明理由，得1分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知常数a＞0，函数f(x)=x3+3a4x，|x|≥a2494a2x，|x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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