设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|（Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x（Ⅱ）证明：对任-数学试题及答案

1、试题题目：设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，

1

2

]

|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[

1

2

，1]

；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由题设条件可知，
当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]，
当|u-v|≤1时，有|f（u）-f（v）|≤|u-v|≤1
当|u-v|≤1时，u?v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，则v-u＞1
从而有|f（u）-f（v）|≤|f（u）-f（-1）|+|f（v）-f（1）|≤|u+1|+|v-1|=2-（v-u）＜1
综上可知，对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：
假设存在函数f（x）满足条件，则由|f（u）-f（v）|=|u-v|．
u，v∈[

1

2

，1]得|f(

1

2

)-f(1)|=|

1

2

-1|=

1

2

又f（1）=0，所以|f(

1

2

)|=

1

2

①
又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，
由条件|f（u）-f（v）|＜|u-v|．
u，v∈[0，

1

2

]得|f(

1

2

)|=|f(

1

2

)-f(0)|＜|

1

2

-0|=

1

2

所以|f(

1

2

)|＜

1

2

②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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