已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设g(x)=1x+1+af(x)，(a≠0)，若g（x）＞0在定义域内恒成立，-数学试题及答案

1、试题题目：已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设g(x)=

1

x+1

+af(x)，(a≠0)，若g（x）＞0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：茂名二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得f′(x)=

1

x+1

，∴f′(1)=

1

2

又f（0）=-2∴ln1+m-2×

1

2

=-2
∴m=-1，∴f（x）=ln（x+1）-2．
（2）由（1）得g(x)=

1

x+1

+a[ln(x+1)-2]
定义域为（-1，+∞），
∴g′(x)=-

1

(x+1)2

+

a

x+1

=

ax+a-1

(x+1)2

．
∵a≠0
令g'（x）=0得x=

1-a

a

=-1+

1

a

①当a＞0时-1+

1

a

∈(-1，+∞)，且在区间(-1+

1

a

，+∞)上g，（x）＞0，
在区(-1，-1+

1

a

)上g′（x）＜0．
∴g(x)在x=-1+

1

a

处取得极小值，也是最小值．
∴g(x)=g(-1+

1

a

)=a-a(ln a+2)
由a+a（-lna-2）＞0得a＜

1

e

．∴0＜a＜

1

e

．
②当a＜0时-1+

1

a

?(-1，+∞)，
在区间（-1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．
g（x）在区间（-1，+∞）上单调递减，没有最值
综上得，a的取值范围是0＜a＜

1

e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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