已知幂函数y=f（x）的图象过点(2，22)．（1）求函数f（x）的解析式；（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．-数学试题及答案

1、试题题目：已知幂函数y=f（x）的图象过点(2，22)．（1）求函数f（x）的解析式；（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知幂函数y=f（x）的图象过点(

2

，

2

)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意令y=f（x）=x^a，由于图象过点（

2

，

2

），
得

2

=

2

^a，a=-1
∴y=f（x）=x^-1
（2）g（x）=f（x）+x=x+

1

x

函数g(x)=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有 g(x1)-g(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
所以，函数g(x)=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知幂函数y=f（x）的图象过点(2，22)．（1）求函数f（x）的解析式；（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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