已知函数f（x）=（x-1x+1）2（x＞1）．（1）求f（x）的反函数f-1（x）；（2）判定f-1（x）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1-x）f-1（x）＞a（a-x）对x∈[116，14]恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x-1x+1）2（x＞1）．（1）求f（x）的反函数f-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（

x-1

x+1

）²（x＞1）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）在其定义域内的单调性；
（3）若不等式（1-

x

）f^-1（x）＞a（a-

x

）对x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由y=（

x-1

x+1

）²，得x=

1+

y

1-

y

．
又y=（1-

2

x+1

）²，且x＞1，
∴0＜y＜1．
∴f^-1（x）=

1+

x

1-

x

（0＜x＜1）．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则

x1

-

x2

＜0，1-

x1

＞0，1-

x2

＞0．
∴f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=

2(

x1

-

x2

)

(1-

x1

)(1-

x2

)

＜0，
即f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（0，1）上是增函数．
（3）由题设有（1-

x

）

1+

x

1-

x

＞a（a-

x

）．
∴1+

x

＞a²-a

x

，即（1+a）

x

+1-a²＞0对x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立．
显然a≠-1．令t=

x

，
∵x∈[

1

16

，

1

4

]，∴t∈[

1

4

，

1

2

]．
则g（t）=（1+a）t+1-a²＞0对t∈[

1

4

，

1

2

]恒成立．
由于g（t）=（1+a）t+1-a²是关于t的一次函数，
∴g（

1

4

）＞0且g（

1

2

）＞0，
即

1

4

(1+a)+1-a2＞0

1

2

(1+a)+1-a2＞0

解得-1＜a＜

5

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x-1x+1）2（x＞1）．（1）求f（x）的反函数f-..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：