设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点，g(x)=ax3+bx-3(x＞0)，f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f′(0)=0，f′(-1)=-2，f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，(1)求函数f(x)，g(x)的-数学试题及答案

1、试题题目：设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点，g(x)=ax3+bx-3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

设二次函数f(x)=mx²+nx+t的图象过原点，g(x)=ax³+bx-3(x＞0)，f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f′(0)=0，f′(-1)=-2，f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的极小值；
(3)是否存在实常数k和m，使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(1)由已知得t=0，f′（x）=2mx+n，
则f′(0)=n=0，f′（-1）=-2m+n=-2，
从而n=0，m=1，
∴f(x)=x²，

，
由f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，得a+b-3=1，3a+b=2，
解得a=-1，b=5，
∴

。
(2)

，
求导数得

，
∴F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
从而F(x)的极小值为F(1)=0．
(3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1，1)，而函数f(x)在点(1，1)的切线方程为y=2x-1，
下面验证

都成立即可．
由

得

，知f(x)≥2x-1恒成立；
设h（x）=-x³+5x-3-（2x-1），即h(x)=-x³+3x-2（x＞0），
求导数得h′(x)=-3x²+3=-3(x-1)(x+1)(x＞0)，
∴h（x）在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以h（x）= -x³+5x-3-（2x-1）的最大值为h(1)=0，
所以-x³+5x-3≤2x-1恒成立，
故存在这样的实常数k和m，且k=2，m=-1。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点，g(x)=ax3+bx-3..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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