已知向量a=（cos32x，sin32x），b=（cos12x，-sin12x），且x∈[0，π2]．求：（Ⅰ）a?b及|a+b|；（Ⅱ）若f（x）=a?b-2λ|a+b|的最小值是-32，求λ的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a=（cos32x，sin32x），b=（cos12x，-sin12x），且x∈[0，π2]..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-08 07:30:00

试题原文

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

1

2

x，-sin

1

2

x），且x∈[0，

π

2

]．求：
（Ⅰ）

a

?

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）若f（x）=

a

?

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求λ的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）

a

?

b

=cos

3

2

x?cos

1

2

x-sin

3

2

x?sin

1

2

x=cos2x--------------------（3分）
|

a

+

b

|=

a

2+2

a

?

b

+

b

2

=

2+2cos2x

=

2(1+cos2x)

=2|cosx|
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx＞0，∴|

a

+

b

|=2cosx．-------------------------------------（6分）
（Ⅱ）f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-1-4λcosx，设t=cosx，
则∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]
即y=f（x）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²．----------------------------------------（7分）
①λ＜0时，当且仅当t=0时，y取最小值-1，这与已知矛盾--------------------（8分）
②当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，y取得最小值-1-2λ²，
由已知得-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

---------------------------------------------（10分）
③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1-4λ．
由已知得1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，这与λ＞1相矛盾．
综上λ=

1

2

为所求．-----------------------------------------------------------------（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a=（cos32x，sin32x），b=（cos12x，-sin12x），且x∈[0，π2]..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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