设复数z=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．（1）设复数z满足条件|z+3|+（-1）n|z-3|=3a+（-1）na（其中n∈N*，常数a∈(32，3)），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C1；当n为偶数时-数学试题及答案

1、试题题目：设复数z=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．（1）设复数z满足条..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-07 07:30:00

试题原文

设复数z=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．
（1）设复数z满足条件|z+3|+（-1）ⁿ|z-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*，常数a∈ (

3

2

， 3)），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C₁；当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C₂，且两条曲线都经过点D(2，

2

)，求轨迹C₁与C₂的方程；
（2）在（1）的条件下，轨迹C₂上存在点A，使点A与点B（x₀，0）（x₀＞0）的最小距离不小于

2

3

，求实数x₀的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两点间的距离

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）方法1：①当n为奇数时，|z+3|-|z-3|=2a，常数a∈ (

3

2

， 3)，
轨迹C₁为双曲线，其方程为

x2

a2

-

y2

9-a2

=1；…（3分）
②当n为偶数时，|z+3|+|z-3|=4a，常数a∈ (

3

2

， 3)，
轨迹C₂为椭圆，其方程为

x2

4a2

+

y2

4a2-9

=1；…（6分）
依题意得方程组

4

4a2

+

2

4a2-9

=1

4

a2

-

2

9-a2

=1

?

4a4-45a2+99=0

a4-15a2+36=0

，解得a²=3，
因为

3

2

＜a＜3，所以a=

3

，
此时轨迹为C₁与C₂的方程分别是：

x2

3

-

y2

6

=1（x＞0），

x2

12

+

y2

3

=1．…（9分）
方法2：依题意得

|z+3|+|z-3|=4a

|z+3|-|z-3|=2a

?

|z+3|=3a

|z-3|=a

…（3分）
轨迹为C₁与C₂都经过点D(2，

2

)，且点D(2，

2

)对应的复数z=2+

2

i，
代入上式得a=

3

，…（6分）
即|z+3|-|z-3|=2

3

对应的轨迹C₁是双曲线，方程为

x2

3

-

y2

6

=1（x＞0）；
|z+3|+|z-3|=4

3

对应的轨迹C₂是椭圆，方程为

x2

12

+

y2

3

=1．…（9分）
（2）由（1）知，轨迹C₂：

x2

12

+

y2

3

=1，设点A的坐标为（x，y），
则|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-

1

4

x2=

3

4

x2-2x0x+

x

20

+3=

3

4

(x-

4

3

x0)2+3-

1

3

x

20

，x∈[-2

3

，2

3

]…（12分）
当0＜

4

3

x0≤2

3

即0＜x0≤

3

2

时，|AB|2min=3-

1

3

x

20

≥

4

3

?0＜x0≤

5

当

4

3

x0＞2

3

即x0＞

3

2

时，|AB|min=|x0-2

3

|≥

2

3

?x0≥

8

3

，…（16分）
综上，0＜x0≤

5

或x0≥

8

3

．…（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设复数z=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．（1）设复数z满足条..”的主要目的是检查您对于考点“高中两点间的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两点间的距离”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：