（1）选修4-2：矩阵与变换已知向量1-1在矩阵M=1m01变换下得到的向量是0-1．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．（2）选修4-4：极坐标与参数-数学试题及答案

1、试题题目：（1）选修4-2：矩阵与变换已知向量1-1在矩阵M=1m01变换下得到的向量..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-06 07:30:00

试题原文

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知向量

1

-1

在矩阵M=

1	m
0	1

变换下得到的向量是

0

-1

．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y²-x+y=0在矩阵M^-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为(4

2

，

π

4

)，曲线C的参数方程为

x=1+

2

cosα

y=

2

sinα

（α为参数）．
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a，b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a²b，求z的最大值．

试题来源：福建模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：不等式的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）（Ⅰ）因为

1	m
0	1

1

-1

=

1-m

-1

，
所以，

1-m

-1

=

0

-1

，即m=1．…（3分）
（Ⅱ）因为M=

1	1
0	1

，所以M-1=

1	-1
0	1

．…（4分）
设曲线y²-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M^-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'）．
由

x′

y′

=

1	-1
0	1

x

y

=

x-y

y

，…（5分）
所以

x-y=x′

y=y′

得

x=x′+y′

y=y′

代入曲线y²-x+y=0得y'²=x'．…（6分）
由（x，y）的任意性可知，曲线y²-x+y=0在矩阵M^-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y²=x．…（7分）
（2）（Ⅰ）由点M的极坐标为(4

2

，

π

4

)得点M的直角坐标为（4，4），
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程

x=1+

2

cosα

y=

2

sinα

（α为参数）
化为普通方程为（x-1）²+y²=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=

2

．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-

2

．…（7分）
（3）（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围-1＜a＜1．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以z=a2b=a?a?b≤(

a+a+b

3

)3=(

2a+b

3

)3=33=27，…（6分）
当且仅当a=b=3时，等号成立．
故z的最大值为27．…（7分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）选修4-2：矩阵与变换已知向量1-1在矩阵M=1m01变换下得到的向量..”的主要目的是检查您对于考点“高中不等式的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中不等式的定义及性质”。

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