已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．（1）求证：抛物线必与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜x2；（2）求证：x1＜x0＜x2；（3）当点M为（1，-1997）时，求整数x1、-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．（1）求证：抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-11 07:30:00

试题原文

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x₀，y₀）位于x轴的下方．
（1）求证：抛物线必与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁＜x₂；
（2）求证：x₁＜x₀＜x₂；
（3）当点M为（1，-1997）时，求整数x₁、x₂．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由点M（x₀，y₀）位于x轴的下方，
有

y0＜0

y0=x02+px0+q=(x0+

p

2

)2-

p2-4q

4

得△=p2-4q=4(x0+

p

2

)2-4y0≥-4y0＞0．
∴方程x²+px+q=0有两个实根，设为x₁、x₂（x₁＜x₂）．
于是抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0）．（4分）
（2）由（1）得

x1+x2=-p

x1x2=q

①
代入x₀²+px₀+q=y₀＜0，得不等式x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂＜0
即（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0
故  x₁＜x₀＜x₂．（8分）
（3）由M在抛物线上，而x₁，x₂满足①得
y₀=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂．即-1997=（x₁-1）（x₂-1）．
∵1997为整数，
∴（x₁-1）、（x₂-1）均为整数，且由x₁＜x₂，知x₁-1＜x₂-1，
得

x1-1=-1

x2-1=1997

或

x1-1=-1997

x2-1=1

．
∴

x1=0

x2=1998

或

x1=-1996

x2=2

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．（1）求证：抛..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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