（1）已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证：OA?OB为定值；（2）由（1）可知：过抛物线的焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，存在定点P，使-数学试题及答案

1、试题题目：（1）已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

（1）已知抛物线y²=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，为坐标原点，求证：

OA

?

OB

为定值；
（2）由（1）可知：过抛物线的焦点F的动直线 l 交抛物线于A，B两点，存在定点P，使得

PA

?

PB

为定值．请写出关于椭圆的类似结论，并给出证明．

试题来源：南京一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若直线l垂直于x轴，则A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p).

OA

?

OB

=(

p

2

)2-p2=-

3

4

p2．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为y=k(x-

p

2

)，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x-

p

2

)

y2=2px

?k2x2-p(2+k2)x+

p2

4

k2=0x1+x2=

(2+k2)

k2

p，x1?x2=

p2

4

．…（4分）
∴

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)=(1+k2)x1x2-

p

2

k2(x1+x2)+

p2k2

4

=(1+k2)

p2

4

-

p

2

k2?

(2+k2)p

k2

+

p2k2

4

=-

3

4

p2．
综上，

OA

?

OB

=-

3

4

p2为定值．…（6分）
（2）关于椭圆有类似的结论：
过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P，使

OA

?

OB

为定值．
证明：不妨设直线l过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点F（c，0）（其中c=

a2-b2

）
若直线l不垂直于轴，则设其方程为：y=k（x-c），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x-c)

x2

a2

+

y2

b2

=1

?(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+(a2c2k2-a2b2)=0得：
所以x1+x2=

2a2ck2

a2k2+b2

，x1?x2=

a2c2k2-a2b2

a2k2-b2

．…（9分）
由对称性可知，设点P在x轴上，其坐标为（m，0）．
所以

PA

?

PB

=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-（m+ck²）（x₁+x₂）+m²+c²k²
=（1+k²）

a2c2k2-a2b2

a2k2-b2

-（m+ck²）

2a2ck2

a2k2+b2

+m²+c²k²
=

(a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm)k2+(m2-a2)b2

a2k2+b2

要使

PA

?

PB

为定值，
只要a⁴-a²b²-b⁴+a²m²-2a²cm=a²（m²-a²），
即m=

2a4-a2b2-b4

2a2c

=

(2a2+b2)c

2a2

=

(3-e2)c

2

此时

PA

?

PB

=m²-a²=

(2a2+b2)2c2-4a6

4a4

=

b4(c2-4a2)

4a4

…（12分）
若直线l垂直于x轴，则其方程为x=c，A(c，

b2

a

)，B(c，-

b2

a

)．
取点P(

(2a2+b2)c

2a2

，0)
有

PA

?

PB

=[

(2a2+b2)c

2a2

-c]2-

b4

a2

=

b4(c2-4a2)

4a4

．…（13分）
综上，过焦点F（c，0）的任意直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P(

(2a2+b2)c

2a2

，0)
使

PA

?

PB

=

b4(c2-4a2)

4a4

．为定值．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：