如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：MN∥面PAD；（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，点M是CD..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM，AN，MN．
（1）求证：MN∥面PAD；
（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：如图，

取PA的中点E，连接DE，EN，
∵点N是PB的中点，∴EN∥AB，EN=

1

2

AB．
∵点M是CD的中点，底面ABCD是正方形，
∴DM∥AB，DM=

1

2

AB．
∴EN∥DM，EN=DM．
∴四边形EDMN是平行四边形．
∴MN∥DE．
∵DE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥面PAD；
（2）取AB中点G，连结NG，则NG∥PA，PA⊥面ABCD，
∴NG⊥面ABCD．
∵AM?面ABCD，
∴NG⊥AM．
过G作GF⊥AM，垂足为F，连接NF，
∵NG∩GF=G，NG?面NGF，GF?面NGF，
∴AM⊥面NGF．
∵NF?面NGF，
∴AM⊥NF．
∴∠NFG是二面角N-AM-B的平面角．
在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，得NG=

MN2-MG2

=

52-32

=4，
在Rt△MGA中，AG=

3

2

，得AM=

MG2+AG2

=

32+(

3

2

)2

=

3

5

2

，
GF=

AG?MG

AM

=

3

2

×3

3

5

2

=

3

5

．
在Rt△NGF中，NF=

NG2+GF2

=

42+(

3

5

)2

=

445

5

，
∴cos∠NFG=

GF

NF

=

3

5

445

5

=

3

89

．
∴二面角N-AM-B的余弦值为

3

89

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，点M是CD..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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