解: （1）对于y=-x²+x+2
当y=0时, y=-x²+x+2=0， 解得x₁=-1, x₂=4
当x=0时, y=2
∴A、B、C三点的坐标分别为 A（-1,0）,B（4,0）,C（0,2）
∴OA=1，OB= 4，OC=2， ∴AB=OA+OB=5，∴AB²=25
在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=1²+2²=5
在Rt△COB中，BC²=OC²+OB²=2²+4²=20
∴AC²+BC²=AB²
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形。
（2）解：∵直线DE的解析式为直线x=m，∴OD= m，DE⊥OB
∵OC⊥AB，∴OC∥DE，∴△BDE∽△BOC  ∴
∵OC=2，OB=4，BD=OB-OD=4-m，∴DF=
当EF=DF时，DE=2DF=4-m，∴E点的坐标为（m, 4-m）
∵E点在抛物线
解得m₁=1，m₂=4. ∵0＜m＜4，∴m₂=4舍去， ∴当m=1时，EF=DF
（3）解：小红同学的观点是错误的
∵OD= m, DE⊥OB， E点在抛物线
∴E点的坐标可表示为
∴DE=-m²+m+2 
∵DF=2-m，∴EF=DE-DF=-m ²+2m
∵S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF= EF·OD+ EF·BD= EF·（OD+BD） =EF·OB= EF·4=2EF
∴S_△BCE=-m ²+4m=-（m²-4m+4-4）=-（m-2）²+4
∴当m=2时, S_△BCE有最大值,△BCE的最大面积为4
∵当m=2时,-m ²+m+2=3，∴E点的坐标为（2, 3）
而抛物线y=-x²+x+2的顶点坐标为（ ，），∴小红同学的观点是错误的 。