已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c．-数学试题及答案

1、试题题目：已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-12-08 07:30:00

试题原文

已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：二元多次（二次以上）方程（组）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解法一：由1≤a＜b＜c知abc=ab+bc+ca＜3bc，
所以a＜3，故a=1或者a=2．
（1）当a=1时，有b+bc+c=bc，
即b+c=0，这与b、c为正整数矛盾．
（2）当a=2时，有2b+bc+2c=2bc，即bc-2b-2c=0，
所以（b-2）（c-2）=4，
又因为2＜b＜c，故0＜b-2＜c-2，
于是b-2=1，c-2=4．即b=3，c=6，
所以，符合条件的正整数仅有一组：a=2，b=3，c=6．

解法二：∵ab+bc+ca=abc，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，
∵a＜b＜c，
∴

1

a

＞

1

b

＞

1

c

，
所以

1

a

＞

1

3

，1＜a＜3，a=2．
∴

1

b

+

1

c

=

1

2

，
所以

1

b

＞

1

4

，2＜b＜4，b=3．
由上得，c=6，
所以，唯一a=2，b=3，c=6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的..”的主要目的是检查您对于考点“初中二元多次（二次以上）方程（组）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中二元多次（二次以上）方程（组）”。

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