考察等式：C0mCrn-m+C1mCr-1n-m+…+CrmC0n-m=Crn（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中-数学试题及答案

1、试题题目：考察等式：C0mCrn-m+C1mCr-1n-m+…+CrmC0n-m=Crn（*），其中n、m、r∈..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-17 07:30:00

试题原文

考察等式：

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

=

C

rn

（*），其中n、m、r∈N^*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件A_k={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)=

C

km

C

r-kn-m

C

rn

，k=0，1，2，…，r．
显然A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

C

rn

，
所以

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

=

C

rn

，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号______．

试题来源：福建模拟试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：随机事件及其概率

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余n-m件为正品．
现从中随机取出r件产品，记事件A_k={取到的产品中恰有k件次品}，则取到的产品中恰有k件次品共有

C

km

C

r-kn-m

种情况，又从中随机取出r件产品，共有

C

rn

种情况，k=0，1，…，r，故其概率为P(Ak)=

C

km

C

r-kn-m

C

rn

，k=0，1，…，r．
∵A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=

C

0m

C

rn-m

+

C

1m

C

r-1n-m

+…+

C

rm

C

0n-m

C

rn

，
所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．
从而可知正确的序号为：①③
故答案为：①③

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“考察等式：C0mCrn-m+C1mCr-1n-m+…+CrmC0n-m=Crn（*），其中n、m、r∈..”的主要目的是检查您对于考点“高中随机事件及其概率”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中随机事件及其概率”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：