已知函数f（x）=x-4x+4（x≥4）的反函数为f-1（x），数列{an}满足：a1=1，an+1=f-1（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为13的等比数列．（Ⅰ）求证：数列{an}-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x-4x+4（x≥4）的反函数为f-1（x），数列{an}满足：a1=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x-4

x

+4（x≥4）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为

1

3

的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{

an

}为等差数列；
（Ⅱ）若c_n=

an

?b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=x-4

x

+4（x≥4），即y=x-4

x

+4（x≥4），
∴x=

y

+2（y≥0），∴f-1(x)=(

x

+2)2 （x≥2），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=(

an

+2)2，
即

an+1

-

an

=2 （n∈N^*）．
∴数列{

an

}是以

a1

=1为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

an

=1+2(n-1)=2n-1，
即an=(2n-1)2 （n∈N^*）．
由b₁=1，当n≥2时，bn-bn-1=1×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1
=

1×(1-(

1

3

)n)

1-

1

3

=

3

2

(1-

1

3n

)．
因而bn=

3

2

(1-

1

3n

) （n∈N^*）．
由c_n=

an

?b_n，得：cn=

(2n-1)2

?

3

2

(1-

1

3n

)=

3

2

(2n-1)(1-

1

3n

)，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

3

2

(1-

1

3

)+

3

2

(3-

3

32

)+

3

2

(5-

5

33

)+…+

3

2

(2n-1-

2n-1

3n

)
=

3

2

[(1+3+5+…+2n-1)-(

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

)]．
令Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

①
则

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

②
①-②得，

2

3

Tn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2×

1

9

(1-

1

3n-1

)

1-

1

3

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

(1-

1

3n-1

)-

2n-1

3n+1

．
∴Tn=1-

n+1

3n

．
又1+3+5+…+（2n-1）=n²．
∴Sn=

3

2

(n2-1+

n+1

3n

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x-4x+4（x≥4）的反函数为f-1（x），数列{an}满足：a1=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：