已知数列{an}中a1=12，前n项和2Sn=Sn-1-(12)n-1+2(n≥2，n∈N)．（Ⅰ）令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令cn=n+1nan，求数列{cn}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中a1=12，前n项和2Sn=Sn-1-(12)n-1+2(n≥2，n∈N)．（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{an}中a1=

1

2

，前n项和2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2(n≥2，n∈N)．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=

n+1

n

an，求数列{c_n}的前n项和T_n．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-2+2．
即Sn+an=-(

1

2

)n-1+2，n≥2，Sn-1+an-1=-(

1

2

)n-2+2，n≥3．
两式相减得2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1…（3分）
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1（n≥3），即当n≥3时，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，2（a₁+a₂）=a₁-

1

2

+2，得a₂=

1

2

，∴b₂=4a₂=2，∴b₂-b₁=1，
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列…（5分）
于是b_n=1+（n-1）?1=n=2ⁿa_n，∴an=

n

2n

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，所以
所以cn=bn?(

1

2

)n=(n+1)(

1

2

)n…（5分）
Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n①

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1②…（8分）
由①-②得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n-1)(

1

2

)n+1…（10分）
=1+

1

4

[1-(

1

2

)n-1]

1-

1

2

-(n+1)(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Tn=3-

n+3

2n

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中a1=12，前n项和2Sn=Sn-1-(12)n-1+2(n≥2，n∈N)．（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：