已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{bn}满足b1=34，且3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列；（Ⅱ）求证：数列{bn-an}为等比-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=

1

4

，且2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{b_n}满足b1=

3

4

，且3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{b_n}的通项公式以及前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*），
∴当n≥2时，2a_n=2a_n-1+1，
可得an-an-1=

1

2

．
∴数列{a_n}为等差数列．（4分）
（Ⅱ）证明：∵{a_n}为等差数列，公差d=

1

2

，
∴an=a1+(n-1)×

1

2

=

1

2

n-

1

4

.（5分）
又3b_n-b_n-1=n（n≥2），
∴bn=

1

3

bn-1+

1

3

n(n≥2)，
∴bn-an=

1

3

bn-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

bn-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

(bn-1-

1

2

n+

3

4

)
=

1

3

[bn-1-

1

2

(n-1)+

1

4

]
=

1

3

(bn-1-an-1).（8分）
又b1-a1=

1

2

≠0，
∴对n∈N*，b_n-a_n≠0，得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

(n≥2)．
∴数列{b_n-a_n}是首项为

1

2

公比为

1

3

等比数列．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得bn-an=

1

2

?(

1

3

)n-1，
∴b n=

n

2

-

1

4

+

1

2

?(

1

3

)n-1 (n∈N*)．（11分）
∵b1-a1+b2-a2++bn-an=

1

2

[1-(

1

3

)n]

1-

1

3

，
∴b1+b2++bn-(a1+a2++an)=

3

4

[1-(

1

3

)n]，
∴Tn-

n2

4

=

3

4

[1-(

1

3

)n]．
∴Tn=

n2

4

+

3

4

[1-(

1

3

)n] (n∈N*)．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：