已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a与b的夹角．-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

已知向量

a

+3

b

垂直于向量7

a

-5

b

，向量

a

-4

b

垂直于向量7

a

-2

b

，求向量

a

与

b

的夹角．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积表示两个向量的夹角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意可得，

(

a

+3

b

)?(7

a

-5

.

b

)=0

(

a

-4

b

)?(7

a

-2

.

b

)=0

，
即

7

a

2+16

a

?

b

-15

b

2=0

7

a

2-30

a

?

b

+8

b

2=0

整理可得，2

a

?

b

=

b

²，代入可得

a

2=

b

²
∴cosα=

a

?

b

|

a

|?|

b

|

=

1

2

|

b

|2

|

b

|2

=

1

2

∵0°≤α≤180° 所以

a

与

b

的夹角为60⁰．
∵

sinB

b

=

sinC

c

=

sinA

a

∴

sinB+sinC

b+c

=

sinA

a

∴sinB+sinC=2sinA
且cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

300-2bc

2bc

=

300

2bc

-1=

150

bc

-1
又bc≤(

b+c

2

)2=100∴cosA≥

3

2

-1=

1

2

又0＜A＜π∴0＜A≤

π

3

∴sinB+sinC≤

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。

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