已知双曲x29-y216=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则|MF||PQ|的值为（）A．53B．56C．54D．58-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲x29-y216=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-23 07:30:00

试题原文

已知双曲

x2

9

-

y2

16

=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则

|MF|

|PQ|

的值为（　　）

A．

5

3

B．

5

6

C．

5

4

D．

5

8

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1，
∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x-5．
由

y=x-5

x2

9

-

y2

16

=1

得：7x²+90x-369=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程7x²+90x-369=0的两根，
∴x₁+x₂=-

90

7

，y₁+y₂=（x₁-5）+（x₂-5）=x₁+x₂-10=-

160

7

，
∴线段PQ的中点N（-

45

7

，-

80

7

），
∴PQ的垂直平分线方程为y+

80

7

=-（x+

45

7

），
令y=0得：x=-

125

7

．又右焦点F（5，0），
∴|MF|=5+

125

7

=

160

7

．①
设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，
∵双曲线的一条渐近线为y=

4

3

x，其斜率k=

4

3

，直线PQ的方程为：y=x-5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，
则由双曲线的第二定义得：

|PF|

|PP′|

=

|PF|

x1-

a2

c

=e=

c

a

=

5

3

，
∴|PF|=

5

3

x₁-

5

3

×

32

5

=

5

3

x₁-3，
同理可得|QF|=3-

5

3

x₂；
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-

5

3

x₂-（

5

3

x₁-3）
=6-

5

3

（x₁+x₂）
=6-

5

3

×（-

90

7

）
=

192

7

．②
∴

|MF|

|PQ|

=

160

7

192

7

=

5

6

．
故选B．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲x29-y216=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：