已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈R）在x=-23处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对x∈[-1，2]都有f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈R）在x=-23处取得极值，其图象在点（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在x=-

2

3

处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对x∈[-1，2]都有f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=3x²+2ax+b
∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在x=-

2

3

处取得极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线y+2=0平行
∴

4

3

-

4

3

a+b=0

3+2a+b=0

，∴a=-

1

2

，b=-2
（Ⅱ）对x∈[-1，2]都有f（x）＜c²恒成立，等价于对x∈[-1，2]都有x³-

1

2

x²-2x＜c²-c恒成立，
设y=x³-

1

2

x²-2x，则y′=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
解（x-1）（3x+2）=0得x=-

2

3

或x=1
当x∈（-1，-

2

3

）时，y'＞0；当x∈（-

2

3

，1）时，y'＜0；当x∈（1，2）时，y'＞0
则f（x）极大值=

22

27

，f（x）极小值=-

3

2

又f（-1）=

1

2

，f（2）=2，所以f（x）_最大值=2；
∴2＜c²-c
∴c＜-1或c＞2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈R）在x=-23处取得极值，其图象在点（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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