已知函数f(x)=13x3-32x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．（1）求b的值；（2）若当x∈[-1，94]时，f(x)＜c2-76恒成立，求c的取值范围；（3）对任意的x1，x2∈[-1，94]，|f(x1)-f(x2)|≤14-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-32x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．（1）求b的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，

9

4

]时，f(x)＜c2-

7

6

恒成立，求c的取值范围；
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，

9

4

]，|f(x1)-f(x2)|≤

14

3

是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+bx+c，
所以f′（x）=x²-3x+b．…（2分）
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）
（2）因为f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+c．所以f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

-1

（-1，1）

1

（1，2）

2

(2，

9

4

)

9

4

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

-

23

6

+c

单调递增

5

6

+c

单调递减

2

3

+c

单调递增

45

64

+c

因此当x=1时，f（x）有极大值

5

6

+c．…（6分）
又f(

9

4

)=

45

64

+c＜

5

6

+c，f(-1)=-

23

6

+c＜

5

6

+c，
∴x∈[-1，

9

4

]时，f（x）最大值为f(1)=

5

6

+c．…（7分）
∴c2-

7

6

＞

5

6

+c．∴c＜-1或c＞2．…（8分）
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，

9

4

]，|f(x1)-f(x2)|≤

14

3

恒成立．
由（2）可知，当x=2时，f（x）有极小值

2

3

+c．
又f(-1)=-

23

6

+c＜

2

3

+c，f(1)=

5

6

+c＞-

23

6

+c．
∴x∈[-1，

9

4

]时，f（x）的最小值为-

23

6

+c．…（10分）
∴|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=

14

3

，故结论成立．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-32x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．（1）求b的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：