常数a≥0，函数f（x）=x-ln2x+2alnx-1。（1）令g（x）=xf‘（x）（x>0），求g（x）的最小值并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）证明：当x>1时，恒有x>ln2x-2alnx+1。-数学试题及答案

1、试题题目：常数a≥0，函数f（x）=x-ln2x+2alnx-1。（1）令g（x）=xf‘（x）（x>0）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

常数a≥0，函数f（x）=x-ln²x+2alnx-1。
（1）令g（x）=xf'（x）（x>0），求g（x）的最小值并比较g（x）的最小值与0的大小；
（2）证明：当x>1时，恒有x>ln²x-2alnx+1。

试题来源：安徽省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵f（x）=x-ln²x+2alnx-1（x>0），
∴f'（x）=1-

∴g（x）=xf'（x）=x-21nx+2a（x>0）
∴

令g'（x）=0可得x=2
当x∈（0，2）时，g'（x）＜0；
当x∈（2，+∞）时，g'（x）>0
∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2-21n2+2a，
即g（x）的最小值为g（2）=2-21n2+2a，
g（2）=2（1-ln2）+2a
∵ln2＜1，
∴1-ln2>0
又a≥0，
∴g（2）>0。
（2）由（1）可知，g（x）的最小值是正数，
所以对一切x>0恒有g（x）=xf'（x）>0
从而当x>0时，恒有f'（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴当x>1时，f（x）>f（1）
又f（1）=1-ln²1+2aln1-1=0，
∴f（x）>0，即x-1-ln²x+2alnx>0，
∴x>ln²x-2alnx+1
故当x>1时，恒有x>ln²x-2alnx+1。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“常数a≥0，函数f（x）=x-ln2x+2alnx-1。（1）令g（x）=xf‘（x）（x>0）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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