设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足：当x=1时，f（x）取得最小值1，且f(0)=32．（1）求a、b、c的值；（2）是否存在实数m，n，使x∈[m，n]时，函数的值域也是[m，n]？若存在，则求出这样-数学试题及答案

1、试题题目：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足：当x=1时，f（x）取得最小值1，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足：当x=1时，f（x）取得最小值1，且f(0)=

3

2

．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在实数m，n，使x∈[m，n]时，函数的值域也是[m，n]？若存在，则求出这样的实数m，n；若不存在，则说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，得：

a＞0

-

b

2a

=1

f(1)=a+b+c=1

f(0)=c=

3

2

（4分）
解之得：a=

1

2

，b=-1，c=

3

2

，（7分）
（2）∴f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

=

1

2

(x-1)2+1（8分）
从而，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）（10分）
由f（x）取得最小值1，得1≤m＜n，（11分）
所以，f（x）在区间[m，n]上单调增，（12分）
故

f(m)=m

f(n)=n

（13分）
即m，n是方程f（x）=x，即

1

2

x2-2x+

3

2

=0的两不小于1的不等实根，┉┉（15分）
∴m=1，n=3（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足：当x=1时，f（x）取得最小值1，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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