几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x∈R）时，给出了下面几个结论：①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；③f（x）在（0，+∞）是增函数；④若规定f1（x）=f（x），fn+1-数学试题及答案

1、试题题目：几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x∈R）时，给出了下面几个结论：①函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

几位同学在研究函数f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；③f（x）在（0，+∞）是增函数；④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，
上述结论中正确的个数有______个．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①|x|＜1+|x|，故

x

1+|x|

∈(-1，1)，函数f（x）的值域为（-1，1），①正确；
②函数f(x)=

x

1+|x|

是一个奇函数，当x≥0时，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）是一个增函数，故若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），此命题正确；
③由②已证，故此命题正确；
④当n=1，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f2(x)=

x

1+|x|

1+

|x|

1+|x|

=

x

1+2|x|

，假设n=k时，fk(x)=

x

1+k|x|

成立，则n=k+1时，fk+1(x)=

x

1+k|x|

1+

|x|

1+k|x|

=

x

1+(k+1)|x|

成立，由数学归纳法知，此命题正确．
故答案为 4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x∈R）时，给出了下面几个结论：①函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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