已知函数f(x)=1-x21+x+x2(x∈R)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；（Ⅲ）求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1-x21+x+x2(x∈R)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1-x2

1+x+x2

(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若（e^t+2）x²+e^tx+e^t-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有f[(

λa+μb

λ+μ

)2]-f(

λa2+μb2

λ+μ

)≥(

λa+μb

λ+μ

)2-

λa2+μb2

λ+μ

．

试题来源：黄冈模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=

-2x(1+x+x2)-(2x+1)(1-x2)

(1+x+x2)2

=

-[x-(-2+

3

)]?[x-(-2-

3

)]

(1+x+x2)2

∴f（x）的增区间为(-2-

3

，-2+

3

)，f（x）减区间为(-∞，-2-

3

)和(-2+

3

，+∞)．
极大值为f(-2+

3

)=

2

3

，极小值为f(-2-

3

)=-

2

3

．…4分
（Ⅱ）原不等式可化为et≥

2(1-x2)

1+x+x2

由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为

2

3

．
∴

2(1-x2)

1+x+x2

的最大值为

4

3

，由恒成立的意义知道et≥

4

3

，从而t≥ln

4

3

…8分
（Ⅲ）设g(x)=f(x)-x=

1-x2

1+x+x2

-x(x＞0)
则g′(x)=f′(x)-1=

-(x2+4x+1)

(1+x+x2)2

-1=-

x4+2x3+4x2+6x+2

(1+x+x2)2

．
∴当x＞0时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当a、b、λ、μ是正实数时，(

λa+μb

λ+μ

)2-

λa2+μb2

λ+μ

=-

λμ(a-b)2

(λ+μ)2

≤0
∴(

λa+μb

λ+μ

)2≤

λa2+μb2

λ+μ

．
由g（x）的单调性有：f[(

λa+μb

λ+μ

)2]-(

λa+μb

λ+μ

)2≥f(

λa2+μb2

λ+μ

)-

λa2+μb2

λ+μ

，
即f[(

λa+μb

λ+μ

)2]-f(

λa2+μb2

λ+μ

)≥(

λa+μb

λ+μ

)2-

λa2+μb2

λ+μ

．…12分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1-x21+x+x2(x∈R)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：