已知函数f(x)=-13x3+x2+ax+b(a，b∈R）．（Ⅰ）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在其图象上任意一点（x0，f（x0））处切线的斜率都小于2a2，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=-13x3+x2+ax+b(a，b∈R）．（Ⅰ）若a=3，试确定函数f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=-

1

3

x3+x2+ax+b(a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在其图象上任意一点（x₀，f（x₀））处切线的斜率都小于2a²，求实数a的取值范围．

试题来源：西城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=3时，f(x)=-

1

3

x3+x2+3x+b，所以f^/（x）=-x²+2x+3，
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜3，由f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调增区间为（-1，3），减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅱ）因为f'（x）=-x²+2x+a，
由题意得：f'（x）=-x²+2x+a＜2a²对任意x∈R恒成立，
即-x²+2x＜2a²-a对任意x∈R恒成立，
设g（x）=-x²+2x，所以g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
所以当x=1时，g（x）有最大值为1，
因为对任意x∈R，-x²+2x＜2a²-a恒成立，
所以2a²-a＞1，解得a＞1或a＜-

1

2

，
所以，实数a的取值范围为{a|a＞1或a＜-

1

2

}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=-13x3+x2+ax+b(a，b∈R）．（Ⅰ）若a=3，试确定函数f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：