设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R），当x=-1时f（x）取得极大值23，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．（1）求函数f（x）的表达式；（2）试在-数学试题及答案

1、试题题目：设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄（a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R），当x=-1时f（x）取得极大值

2

3

，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-

2

，

2

]上．

试题来源：宣武区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）将函数y=f（x+1）的图象向右平移一个单位，得到函数y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x）=a₁x³+a₃x
∴f^′（x）=3a₁x²+a₃
由题意得：

f′(-1)=3a1+a3=0

f (-1)=-a1-a3=

2

3

所以

a1=

1

3

a3=-1

，f(x)=

1

3

x3-x经检验满足题意
（2）由（1）可得f^′（x）=x²-1
故设所求两点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))(x1，x2∈ [-

2

，

2

])
f^′（x₁）?f^′（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
∵x₁²-1，x₂²-1∈[-1，1]
∴

x

22

-1=-1

x

21

-1=-1

或

x

21

-1=1

x

22

-1=-1

x1= 0

x2=±

2

或

x1=±

2

x2= 0

∴满足条件的两点的坐标为：
（0，0），(

2

，-

2

3

)或(0，0) ，(-

2

，-

2

3

)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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