已知定义在R上的函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-25．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上的函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

2

5

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f （x₁）-f （x₂）|≤

4

5

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c．
∵x=1时，f（x）取极小值-

2

5

，
∴3a+c=0且 a+c=-

2

5

．
解得a=

1

5

，c=-

3

5

．
∴f（x）=

1

5

x3-

3

5

x…4
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．
假设图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=

3

5

（x²-1）知两点处的切线斜率分别为k₁=

3

5

(

x

21

-1)，k₂=

3

5

(

x

22

-1)，且

9

25

(

x

21

-1)(

x

22

-1)=1 （*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，
∴

x

21

-1≤0，

x

22

-1≤0
∴（

x

21

-1）（

x

22

-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立 …（8分）（文12分）
（Ⅲ）证明：f′（x）=

3

5

（x²-1），令f′（x）=0，得x=±1
∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且f_max（x）=f（-1）=

2

5

，f_min（x）=f（1）=-

2

5

．
∴在[-1，1]上|f（x）|≤

2

5

，于是x₁，x₂∈[-1，1]时，
|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

2

5

+

2

5

=

4

5

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上的函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：